\(\int (a+b x) (d+e x)^7 (a^2+2 a b x+b^2 x^2)^{5/2} \, dx\) [1990]
Optimal result
Integrand size = 33, antiderivative size = 362 \[
\int (a+b x) (d+e x)^7 \left (a^2+2 a b x+b^2 x^2\right )^{5/2} \, dx=\frac {(b d-a e)^6 (d+e x)^8 \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{8 e^7 (a+b x)}-\frac {2 b (b d-a e)^5 (d+e x)^9 \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{3 e^7 (a+b x)}+\frac {3 b^2 (b d-a e)^4 (d+e x)^{10} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{2 e^7 (a+b x)}-\frac {20 b^3 (b d-a e)^3 (d+e x)^{11} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{11 e^7 (a+b x)}+\frac {5 b^4 (b d-a e)^2 (d+e x)^{12} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{4 e^7 (a+b x)}-\frac {6 b^5 (b d-a e) (d+e x)^{13} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{13 e^7 (a+b x)}+\frac {b^6 (d+e x)^{14} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{14 e^7 (a+b x)}
\]
[Out]
1/8*(-a*e+b*d)^6*(e*x+d)^8*((b*x+a)^2)^(1/2)/e^7/(b*x+a)-2/3*b*(-a*e+b*d)^5*(e*x+d)^9*((b*x+a)^2)^(1/2)/e^7/(b
*x+a)+3/2*b^2*(-a*e+b*d)^4*(e*x+d)^10*((b*x+a)^2)^(1/2)/e^7/(b*x+a)-20/11*b^3*(-a*e+b*d)^3*(e*x+d)^11*((b*x+a)
^2)^(1/2)/e^7/(b*x+a)+5/4*b^4*(-a*e+b*d)^2*(e*x+d)^12*((b*x+a)^2)^(1/2)/e^7/(b*x+a)-6/13*b^5*(-a*e+b*d)*(e*x+d
)^13*((b*x+a)^2)^(1/2)/e^7/(b*x+a)+1/14*b^6*(e*x+d)^14*((b*x+a)^2)^(1/2)/e^7/(b*x+a)
Rubi [A] (verified)
Time = 0.34 (sec) , antiderivative size = 362, normalized size of antiderivative = 1.00, number
of steps used = 4, number of rules used = 3, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.091, Rules used = {784, 21, 45}
\[
\int (a+b x) (d+e x)^7 \left (a^2+2 a b x+b^2 x^2\right )^{5/2} \, dx=\frac {3 b^2 \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2} (d+e x)^{10} (b d-a e)^4}{2 e^7 (a+b x)}-\frac {2 b \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2} (d+e x)^9 (b d-a e)^5}{3 e^7 (a+b x)}+\frac {\sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2} (d+e x)^8 (b d-a e)^6}{8 e^7 (a+b x)}+\frac {b^6 \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2} (d+e x)^{14}}{14 e^7 (a+b x)}-\frac {6 b^5 \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2} (d+e x)^{13} (b d-a e)}{13 e^7 (a+b x)}+\frac {5 b^4 \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2} (d+e x)^{12} (b d-a e)^2}{4 e^7 (a+b x)}-\frac {20 b^3 \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2} (d+e x)^{11} (b d-a e)^3}{11 e^7 (a+b x)}
\]
[In]
Int[(a + b*x)*(d + e*x)^7*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5/2),x]
[Out]
((b*d - a*e)^6*(d + e*x)^8*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(8*e^7*(a + b*x)) - (2*b*(b*d - a*e)^5*(d + e*x)^9*S
qrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(3*e^7*(a + b*x)) + (3*b^2*(b*d - a*e)^4*(d + e*x)^10*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x
^2])/(2*e^7*(a + b*x)) - (20*b^3*(b*d - a*e)^3*(d + e*x)^11*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(11*e^7*(a + b*x))
+ (5*b^4*(b*d - a*e)^2*(d + e*x)^12*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(4*e^7*(a + b*x)) - (6*b^5*(b*d - a*e)*(d +
e*x)^13*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/(13*e^7*(a + b*x)) + (b^6*(d + e*x)^14*Sqrt[a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2])/
(14*e^7*(a + b*x))
Rule 21
Int[(u_.)*((a_) + (b_.)*(v_))^(m_.)*((c_) + (d_.)*(v_))^(n_.), x_Symbol] :> Dist[(b/d)^m, Int[u*(c + d*v)^(m +
n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[m] && ( !IntegerQ[n] || SimplerQ[c +
d*x, a + b*x])
Rule 45
Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])
Rule 784
Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Dis
t[(a + b*x + c*x^2)^FracPart[p]/(c^IntPart[p]*(b/2 + c*x)^(2*FracPart[p])), Int[(d + e*x)^m*(f + g*x)*(b/2 + c
*x)^(2*p), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m}, x] && EqQ[b^2 - 4*a*c, 0]
Rubi steps \begin{align*}
\text {integral}& = \frac {\sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2} \int (a+b x) \left (a b+b^2 x\right )^5 (d+e x)^7 \, dx}{b^4 \left (a b+b^2 x\right )} \\ & = \frac {\left (b \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}\right ) \int (a+b x)^6 (d+e x)^7 \, dx}{a b+b^2 x} \\ & = \frac {\left (b \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}\right ) \int \left (\frac {(-b d+a e)^6 (d+e x)^7}{e^6}-\frac {6 b (b d-a e)^5 (d+e x)^8}{e^6}+\frac {15 b^2 (b d-a e)^4 (d+e x)^9}{e^6}-\frac {20 b^3 (b d-a e)^3 (d+e x)^{10}}{e^6}+\frac {15 b^4 (b d-a e)^2 (d+e x)^{11}}{e^6}-\frac {6 b^5 (b d-a e) (d+e x)^{12}}{e^6}+\frac {b^6 (d+e x)^{13}}{e^6}\right ) \, dx}{a b+b^2 x} \\ & = \frac {(b d-a e)^6 (d+e x)^8 \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{8 e^7 (a+b x)}-\frac {2 b (b d-a e)^5 (d+e x)^9 \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{3 e^7 (a+b x)}+\frac {3 b^2 (b d-a e)^4 (d+e x)^{10} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{2 e^7 (a+b x)}-\frac {20 b^3 (b d-a e)^3 (d+e x)^{11} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{11 e^7 (a+b x)}+\frac {5 b^4 (b d-a e)^2 (d+e x)^{12} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{4 e^7 (a+b x)}-\frac {6 b^5 (b d-a e) (d+e x)^{13} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{13 e^7 (a+b x)}+\frac {b^6 (d+e x)^{14} \sqrt {a^2+2 a b x+b^2 x^2}}{14 e^7 (a+b x)} \\
\end{align*}
Mathematica [A] (verified)
Time = 1.13 (sec) , antiderivative size = 602, normalized size of antiderivative = 1.66
\[
\int (a+b x) (d+e x)^7 \left (a^2+2 a b x+b^2 x^2\right )^{5/2} \, dx=\frac {x \sqrt {(a+b x)^2} \left (3003 a^6 \left (8 d^7+28 d^6 e x+56 d^5 e^2 x^2+70 d^4 e^3 x^3+56 d^3 e^4 x^4+28 d^2 e^5 x^5+8 d e^6 x^6+e^7 x^7\right )+2002 a^5 b x \left (36 d^7+168 d^6 e x+378 d^5 e^2 x^2+504 d^4 e^3 x^3+420 d^3 e^4 x^4+216 d^2 e^5 x^5+63 d e^6 x^6+8 e^7 x^7\right )+1001 a^4 b^2 x^2 \left (120 d^7+630 d^6 e x+1512 d^5 e^2 x^2+2100 d^4 e^3 x^3+1800 d^3 e^4 x^4+945 d^2 e^5 x^5+280 d e^6 x^6+36 e^7 x^7\right )+364 a^3 b^3 x^3 \left (330 d^7+1848 d^6 e x+4620 d^5 e^2 x^2+6600 d^4 e^3 x^3+5775 d^3 e^4 x^4+3080 d^2 e^5 x^5+924 d e^6 x^6+120 e^7 x^7\right )+91 a^2 b^4 x^4 \left (792 d^7+4620 d^6 e x+11880 d^5 e^2 x^2+17325 d^4 e^3 x^3+15400 d^3 e^4 x^4+8316 d^2 e^5 x^5+2520 d e^6 x^6+330 e^7 x^7\right )+14 a b^5 x^5 \left (1716 d^7+10296 d^6 e x+27027 d^5 e^2 x^2+40040 d^4 e^3 x^3+36036 d^3 e^4 x^4+19656 d^2 e^5 x^5+6006 d e^6 x^6+792 e^7 x^7\right )+b^6 x^6 \left (3432 d^7+21021 d^6 e x+56056 d^5 e^2 x^2+84084 d^4 e^3 x^3+76440 d^3 e^4 x^4+42042 d^2 e^5 x^5+12936 d e^6 x^6+1716 e^7 x^7\right )\right )}{24024 (a+b x)}
\]
[In]
Integrate[(a + b*x)*(d + e*x)^7*(a^2 + 2*a*b*x + b^2*x^2)^(5/2),x]
[Out]
(x*Sqrt[(a + b*x)^2]*(3003*a^6*(8*d^7 + 28*d^6*e*x + 56*d^5*e^2*x^2 + 70*d^4*e^3*x^3 + 56*d^3*e^4*x^4 + 28*d^2
*e^5*x^5 + 8*d*e^6*x^6 + e^7*x^7) + 2002*a^5*b*x*(36*d^7 + 168*d^6*e*x + 378*d^5*e^2*x^2 + 504*d^4*e^3*x^3 + 4
20*d^3*e^4*x^4 + 216*d^2*e^5*x^5 + 63*d*e^6*x^6 + 8*e^7*x^7) + 1001*a^4*b^2*x^2*(120*d^7 + 630*d^6*e*x + 1512*
d^5*e^2*x^2 + 2100*d^4*e^3*x^3 + 1800*d^3*e^4*x^4 + 945*d^2*e^5*x^5 + 280*d*e^6*x^6 + 36*e^7*x^7) + 364*a^3*b^
3*x^3*(330*d^7 + 1848*d^6*e*x + 4620*d^5*e^2*x^2 + 6600*d^4*e^3*x^3 + 5775*d^3*e^4*x^4 + 3080*d^2*e^5*x^5 + 92
4*d*e^6*x^6 + 120*e^7*x^7) + 91*a^2*b^4*x^4*(792*d^7 + 4620*d^6*e*x + 11880*d^5*e^2*x^2 + 17325*d^4*e^3*x^3 +
15400*d^3*e^4*x^4 + 8316*d^2*e^5*x^5 + 2520*d*e^6*x^6 + 330*e^7*x^7) + 14*a*b^5*x^5*(1716*d^7 + 10296*d^6*e*x
+ 27027*d^5*e^2*x^2 + 40040*d^4*e^3*x^3 + 36036*d^3*e^4*x^4 + 19656*d^2*e^5*x^5 + 6006*d*e^6*x^6 + 792*e^7*x^7
) + b^6*x^6*(3432*d^7 + 21021*d^6*e*x + 56056*d^5*e^2*x^2 + 84084*d^4*e^3*x^3 + 76440*d^3*e^4*x^4 + 42042*d^2*
e^5*x^5 + 12936*d*e^6*x^6 + 1716*e^7*x^7)))/(24024*(a + b*x))
Maple [B] (verified)
Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. \(815\) vs. \(2(271)=542\).
Time = 1.32 (sec) , antiderivative size = 816, normalized size of antiderivative = 2.25
| | |
method | result | size |
| | |
gosper |
\(\frac {x \left (1716 b^{6} e^{7} x^{13}+11088 x^{12} b^{5} a \,e^{7}+12936 x^{12} b^{6} d \,e^{6}+30030 x^{11} b^{4} a^{2} e^{7}+84084 x^{11} b^{5} a d \,e^{6}+42042 x^{11} b^{6} d^{2} e^{5}+43680 x^{10} a^{3} b^{3} e^{7}+229320 x^{10} b^{4} a^{2} d \,e^{6}+275184 x^{10} b^{5} a \,d^{2} e^{5}+76440 x^{10} b^{6} d^{3} e^{4}+36036 x^{9} a^{4} b^{2} e^{7}+336336 x^{9} a^{3} b^{3} d \,e^{6}+756756 x^{9} b^{4} a^{2} d^{2} e^{5}+504504 x^{9} b^{5} a \,d^{3} e^{4}+84084 x^{9} b^{6} d^{4} e^{3}+16016 x^{8} a^{5} b \,e^{7}+280280 x^{8} a^{4} b^{2} d \,e^{6}+1121120 x^{8} a^{3} b^{3} d^{2} e^{5}+1401400 x^{8} b^{4} a^{2} d^{3} e^{4}+560560 x^{8} b^{5} a \,d^{4} e^{3}+56056 x^{8} b^{6} d^{5} e^{2}+3003 x^{7} a^{6} e^{7}+126126 x^{7} a^{5} b d \,e^{6}+945945 x^{7} a^{4} b^{2} d^{2} e^{5}+2102100 x^{7} a^{3} b^{3} d^{3} e^{4}+1576575 x^{7} b^{4} a^{2} d^{4} e^{3}+378378 x^{7} b^{5} a \,d^{5} e^{2}+21021 x^{7} b^{6} d^{6} e +24024 x^{6} a^{6} d \,e^{6}+432432 x^{6} a^{5} b \,d^{2} e^{5}+1801800 x^{6} a^{4} b^{2} d^{3} e^{4}+2402400 x^{6} a^{3} b^{3} d^{4} e^{3}+1081080 x^{6} b^{4} a^{2} d^{5} e^{2}+144144 x^{6} b^{5} a \,d^{6} e +3432 x^{6} b^{6} d^{7}+84084 x^{5} a^{6} d^{2} e^{5}+840840 x^{5} a^{5} b \,d^{3} e^{4}+2102100 x^{5} a^{4} b^{2} d^{4} e^{3}+1681680 x^{5} a^{3} b^{3} d^{5} e^{2}+420420 x^{5} b^{4} a^{2} d^{6} e +24024 x^{5} b^{5} a \,d^{7}+168168 a^{6} d^{3} e^{4} x^{4}+1009008 a^{5} b \,d^{4} e^{3} x^{4}+1513512 a^{4} b^{2} d^{5} e^{2} x^{4}+672672 a^{3} b^{3} d^{6} e \,x^{4}+72072 a^{2} b^{4} d^{7} x^{4}+210210 x^{3} a^{6} d^{4} e^{3}+756756 x^{3} a^{5} b \,d^{5} e^{2}+630630 x^{3} a^{4} b^{2} d^{6} e +120120 x^{3} a^{3} b^{3} d^{7}+168168 a^{6} d^{5} e^{2} x^{2}+336336 a^{5} b \,d^{6} e \,x^{2}+120120 a^{4} b^{2} d^{7} x^{2}+84084 x \,a^{6} d^{6} e +72072 x \,a^{5} b \,d^{7}+24024 a^{6} d^{7}\right ) \left (\left (b x +a \right )^{2}\right )^{\frac {5}{2}}}{24024 \left (b x +a \right )^{5}}\) |
\(816\) |
default |
\(\frac {x \left (1716 b^{6} e^{7} x^{13}+11088 x^{12} b^{5} a \,e^{7}+12936 x^{12} b^{6} d \,e^{6}+30030 x^{11} b^{4} a^{2} e^{7}+84084 x^{11} b^{5} a d \,e^{6}+42042 x^{11} b^{6} d^{2} e^{5}+43680 x^{10} a^{3} b^{3} e^{7}+229320 x^{10} b^{4} a^{2} d \,e^{6}+275184 x^{10} b^{5} a \,d^{2} e^{5}+76440 x^{10} b^{6} d^{3} e^{4}+36036 x^{9} a^{4} b^{2} e^{7}+336336 x^{9} a^{3} b^{3} d \,e^{6}+756756 x^{9} b^{4} a^{2} d^{2} e^{5}+504504 x^{9} b^{5} a \,d^{3} e^{4}+84084 x^{9} b^{6} d^{4} e^{3}+16016 x^{8} a^{5} b \,e^{7}+280280 x^{8} a^{4} b^{2} d \,e^{6}+1121120 x^{8} a^{3} b^{3} d^{2} e^{5}+1401400 x^{8} b^{4} a^{2} d^{3} e^{4}+560560 x^{8} b^{5} a \,d^{4} e^{3}+56056 x^{8} b^{6} d^{5} e^{2}+3003 x^{7} a^{6} e^{7}+126126 x^{7} a^{5} b d \,e^{6}+945945 x^{7} a^{4} b^{2} d^{2} e^{5}+2102100 x^{7} a^{3} b^{3} d^{3} e^{4}+1576575 x^{7} b^{4} a^{2} d^{4} e^{3}+378378 x^{7} b^{5} a \,d^{5} e^{2}+21021 x^{7} b^{6} d^{6} e +24024 x^{6} a^{6} d \,e^{6}+432432 x^{6} a^{5} b \,d^{2} e^{5}+1801800 x^{6} a^{4} b^{2} d^{3} e^{4}+2402400 x^{6} a^{3} b^{3} d^{4} e^{3}+1081080 x^{6} b^{4} a^{2} d^{5} e^{2}+144144 x^{6} b^{5} a \,d^{6} e +3432 x^{6} b^{6} d^{7}+84084 x^{5} a^{6} d^{2} e^{5}+840840 x^{5} a^{5} b \,d^{3} e^{4}+2102100 x^{5} a^{4} b^{2} d^{4} e^{3}+1681680 x^{5} a^{3} b^{3} d^{5} e^{2}+420420 x^{5} b^{4} a^{2} d^{6} e +24024 x^{5} b^{5} a \,d^{7}+168168 a^{6} d^{3} e^{4} x^{4}+1009008 a^{5} b \,d^{4} e^{3} x^{4}+1513512 a^{4} b^{2} d^{5} e^{2} x^{4}+672672 a^{3} b^{3} d^{6} e \,x^{4}+72072 a^{2} b^{4} d^{7} x^{4}+210210 x^{3} a^{6} d^{4} e^{3}+756756 x^{3} a^{5} b \,d^{5} e^{2}+630630 x^{3} a^{4} b^{2} d^{6} e +120120 x^{3} a^{3} b^{3} d^{7}+168168 a^{6} d^{5} e^{2} x^{2}+336336 a^{5} b \,d^{6} e \,x^{2}+120120 a^{4} b^{2} d^{7} x^{2}+84084 x \,a^{6} d^{6} e +72072 x \,a^{5} b \,d^{7}+24024 a^{6} d^{7}\right ) \left (\left (b x +a \right )^{2}\right )^{\frac {5}{2}}}{24024 \left (b x +a \right )^{5}}\) |
\(816\) |
risch |
\(\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, b^{6} e^{7} x^{14}}{14 b x +14 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (6 b^{5} a \,e^{7}+7 b^{6} d \,e^{6}\right ) x^{13}}{13 b x +13 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (15 b^{4} a^{2} e^{7}+42 b^{5} a d \,e^{6}+21 b^{6} d^{2} e^{5}\right ) x^{12}}{12 b x +12 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (20 a^{3} b^{3} e^{7}+105 b^{4} a^{2} d \,e^{6}+126 b^{5} a \,d^{2} e^{5}+35 b^{6} d^{3} e^{4}\right ) x^{11}}{11 b x +11 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (15 a^{4} b^{2} e^{7}+140 a^{3} b^{3} d \,e^{6}+315 b^{4} a^{2} d^{2} e^{5}+210 b^{5} a \,d^{3} e^{4}+35 b^{6} d^{4} e^{3}\right ) x^{10}}{10 b x +10 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (6 a^{5} b \,e^{7}+105 a^{4} b^{2} d \,e^{6}+420 a^{3} b^{3} d^{2} e^{5}+525 b^{4} a^{2} d^{3} e^{4}+210 b^{5} a \,d^{4} e^{3}+21 b^{6} d^{5} e^{2}\right ) x^{9}}{9 b x +9 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (a^{6} e^{7}+42 a^{5} b d \,e^{6}+315 a^{4} b^{2} d^{2} e^{5}+700 a^{3} b^{3} d^{3} e^{4}+525 b^{4} a^{2} d^{4} e^{3}+126 b^{5} a \,d^{5} e^{2}+7 b^{6} d^{6} e \right ) x^{8}}{8 b x +8 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (7 a^{6} d \,e^{6}+126 a^{5} b \,d^{2} e^{5}+525 a^{4} b^{2} d^{3} e^{4}+700 a^{3} b^{3} d^{4} e^{3}+315 b^{4} a^{2} d^{5} e^{2}+42 b^{5} a \,d^{6} e +b^{6} d^{7}\right ) x^{7}}{7 b x +7 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (21 a^{6} d^{2} e^{5}+210 a^{5} b \,d^{3} e^{4}+525 a^{4} b^{2} d^{4} e^{3}+420 a^{3} b^{3} d^{5} e^{2}+105 b^{4} a^{2} d^{6} e +6 b^{5} a \,d^{7}\right ) x^{6}}{6 b x +6 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (35 a^{6} d^{3} e^{4}+210 a^{5} b \,d^{4} e^{3}+315 a^{4} b^{2} d^{5} e^{2}+140 a^{3} b^{3} d^{6} e +15 b^{4} a^{2} d^{7}\right ) x^{5}}{5 b x +5 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (35 a^{6} d^{4} e^{3}+126 a^{5} b \,d^{5} e^{2}+105 a^{4} b^{2} d^{6} e +20 a^{3} b^{3} d^{7}\right ) x^{4}}{4 b x +4 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (21 a^{6} d^{5} e^{2}+42 a^{5} b \,d^{6} e +15 a^{4} b^{2} d^{7}\right ) x^{3}}{3 b x +3 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, \left (7 a^{6} d^{6} e +6 a^{5} b \,d^{7}\right ) x^{2}}{2 b x +2 a}+\frac {\sqrt {\left (b x +a \right )^{2}}\, a^{6} d^{7} x}{b x +a}\) |
\(933\) |
| | |
|
|
|
[In]
int((b*x+a)*(e*x+d)^7*(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2)^(5/2),x,method=_RETURNVERBOSE)
[Out]
1/24024*x*(1716*b^6*e^7*x^13+11088*a*b^5*e^7*x^12+12936*b^6*d*e^6*x^12+30030*a^2*b^4*e^7*x^11+84084*a*b^5*d*e^
6*x^11+42042*b^6*d^2*e^5*x^11+43680*a^3*b^3*e^7*x^10+229320*a^2*b^4*d*e^6*x^10+275184*a*b^5*d^2*e^5*x^10+76440
*b^6*d^3*e^4*x^10+36036*a^4*b^2*e^7*x^9+336336*a^3*b^3*d*e^6*x^9+756756*a^2*b^4*d^2*e^5*x^9+504504*a*b^5*d^3*e
^4*x^9+84084*b^6*d^4*e^3*x^9+16016*a^5*b*e^7*x^8+280280*a^4*b^2*d*e^6*x^8+1121120*a^3*b^3*d^2*e^5*x^8+1401400*
a^2*b^4*d^3*e^4*x^8+560560*a*b^5*d^4*e^3*x^8+56056*b^6*d^5*e^2*x^8+3003*a^6*e^7*x^7+126126*a^5*b*d*e^6*x^7+945
945*a^4*b^2*d^2*e^5*x^7+2102100*a^3*b^3*d^3*e^4*x^7+1576575*a^2*b^4*d^4*e^3*x^7+378378*a*b^5*d^5*e^2*x^7+21021
*b^6*d^6*e*x^7+24024*a^6*d*e^6*x^6+432432*a^5*b*d^2*e^5*x^6+1801800*a^4*b^2*d^3*e^4*x^6+2402400*a^3*b^3*d^4*e^
3*x^6+1081080*a^2*b^4*d^5*e^2*x^6+144144*a*b^5*d^6*e*x^6+3432*b^6*d^7*x^6+84084*a^6*d^2*e^5*x^5+840840*a^5*b*d
^3*e^4*x^5+2102100*a^4*b^2*d^4*e^3*x^5+1681680*a^3*b^3*d^5*e^2*x^5+420420*a^2*b^4*d^6*e*x^5+24024*a*b^5*d^7*x^
5+168168*a^6*d^3*e^4*x^4+1009008*a^5*b*d^4*e^3*x^4+1513512*a^4*b^2*d^5*e^2*x^4+672672*a^3*b^3*d^6*e*x^4+72072*
a^2*b^4*d^7*x^4+210210*a^6*d^4*e^3*x^3+756756*a^5*b*d^5*e^2*x^3+630630*a^4*b^2*d^6*e*x^3+120120*a^3*b^3*d^7*x^
3+168168*a^6*d^5*e^2*x^2+336336*a^5*b*d^6*e*x^2+120120*a^4*b^2*d^7*x^2+84084*a^6*d^6*e*x+72072*a^5*b*d^7*x+240
24*a^6*d^7)*((b*x+a)^2)^(5/2)/(b*x+a)^5
Fricas [B] (verification not implemented)
Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 706 vs. \(2 (271) = 542\).
Time = 0.39 (sec) , antiderivative size = 706, normalized size of antiderivative = 1.95
\[
\int (a+b x) (d+e x)^7 \left (a^2+2 a b x+b^2 x^2\right )^{5/2} \, dx=\frac {1}{14} \, b^{6} e^{7} x^{14} + a^{6} d^{7} x + \frac {1}{13} \, {\left (7 \, b^{6} d e^{6} + 6 \, a b^{5} e^{7}\right )} x^{13} + \frac {1}{4} \, {\left (7 \, b^{6} d^{2} e^{5} + 14 \, a b^{5} d e^{6} + 5 \, a^{2} b^{4} e^{7}\right )} x^{12} + \frac {1}{11} \, {\left (35 \, b^{6} d^{3} e^{4} + 126 \, a b^{5} d^{2} e^{5} + 105 \, a^{2} b^{4} d e^{6} + 20 \, a^{3} b^{3} e^{7}\right )} x^{11} + \frac {1}{2} \, {\left (7 \, b^{6} d^{4} e^{3} + 42 \, a b^{5} d^{3} e^{4} + 63 \, a^{2} b^{4} d^{2} e^{5} + 28 \, a^{3} b^{3} d e^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} e^{7}\right )} x^{10} + \frac {1}{3} \, {\left (7 \, b^{6} d^{5} e^{2} + 70 \, a b^{5} d^{4} e^{3} + 175 \, a^{2} b^{4} d^{3} e^{4} + 140 \, a^{3} b^{3} d^{2} e^{5} + 35 \, a^{4} b^{2} d e^{6} + 2 \, a^{5} b e^{7}\right )} x^{9} + \frac {1}{8} \, {\left (7 \, b^{6} d^{6} e + 126 \, a b^{5} d^{5} e^{2} + 525 \, a^{2} b^{4} d^{4} e^{3} + 700 \, a^{3} b^{3} d^{3} e^{4} + 315 \, a^{4} b^{2} d^{2} e^{5} + 42 \, a^{5} b d e^{6} + a^{6} e^{7}\right )} x^{8} + \frac {1}{7} \, {\left (b^{6} d^{7} + 42 \, a b^{5} d^{6} e + 315 \, a^{2} b^{4} d^{5} e^{2} + 700 \, a^{3} b^{3} d^{4} e^{3} + 525 \, a^{4} b^{2} d^{3} e^{4} + 126 \, a^{5} b d^{2} e^{5} + 7 \, a^{6} d e^{6}\right )} x^{7} + \frac {1}{2} \, {\left (2 \, a b^{5} d^{7} + 35 \, a^{2} b^{4} d^{6} e + 140 \, a^{3} b^{3} d^{5} e^{2} + 175 \, a^{4} b^{2} d^{4} e^{3} + 70 \, a^{5} b d^{3} e^{4} + 7 \, a^{6} d^{2} e^{5}\right )} x^{6} + {\left (3 \, a^{2} b^{4} d^{7} + 28 \, a^{3} b^{3} d^{6} e + 63 \, a^{4} b^{2} d^{5} e^{2} + 42 \, a^{5} b d^{4} e^{3} + 7 \, a^{6} d^{3} e^{4}\right )} x^{5} + \frac {1}{4} \, {\left (20 \, a^{3} b^{3} d^{7} + 105 \, a^{4} b^{2} d^{6} e + 126 \, a^{5} b d^{5} e^{2} + 35 \, a^{6} d^{4} e^{3}\right )} x^{4} + {\left (5 \, a^{4} b^{2} d^{7} + 14 \, a^{5} b d^{6} e + 7 \, a^{6} d^{5} e^{2}\right )} x^{3} + \frac {1}{2} \, {\left (6 \, a^{5} b d^{7} + 7 \, a^{6} d^{6} e\right )} x^{2}
\]
[In]
integrate((b*x+a)*(e*x+d)^7*(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2)^(5/2),x, algorithm="fricas")
[Out]
1/14*b^6*e^7*x^14 + a^6*d^7*x + 1/13*(7*b^6*d*e^6 + 6*a*b^5*e^7)*x^13 + 1/4*(7*b^6*d^2*e^5 + 14*a*b^5*d*e^6 +
5*a^2*b^4*e^7)*x^12 + 1/11*(35*b^6*d^3*e^4 + 126*a*b^5*d^2*e^5 + 105*a^2*b^4*d*e^6 + 20*a^3*b^3*e^7)*x^11 + 1/
2*(7*b^6*d^4*e^3 + 42*a*b^5*d^3*e^4 + 63*a^2*b^4*d^2*e^5 + 28*a^3*b^3*d*e^6 + 3*a^4*b^2*e^7)*x^10 + 1/3*(7*b^6
*d^5*e^2 + 70*a*b^5*d^4*e^3 + 175*a^2*b^4*d^3*e^4 + 140*a^3*b^3*d^2*e^5 + 35*a^4*b^2*d*e^6 + 2*a^5*b*e^7)*x^9
+ 1/8*(7*b^6*d^6*e + 126*a*b^5*d^5*e^2 + 525*a^2*b^4*d^4*e^3 + 700*a^3*b^3*d^3*e^4 + 315*a^4*b^2*d^2*e^5 + 42*
a^5*b*d*e^6 + a^6*e^7)*x^8 + 1/7*(b^6*d^7 + 42*a*b^5*d^6*e + 315*a^2*b^4*d^5*e^2 + 700*a^3*b^3*d^4*e^3 + 525*a
^4*b^2*d^3*e^4 + 126*a^5*b*d^2*e^5 + 7*a^6*d*e^6)*x^7 + 1/2*(2*a*b^5*d^7 + 35*a^2*b^4*d^6*e + 140*a^3*b^3*d^5*
e^2 + 175*a^4*b^2*d^4*e^3 + 70*a^5*b*d^3*e^4 + 7*a^6*d^2*e^5)*x^6 + (3*a^2*b^4*d^7 + 28*a^3*b^3*d^6*e + 63*a^4
*b^2*d^5*e^2 + 42*a^5*b*d^4*e^3 + 7*a^6*d^3*e^4)*x^5 + 1/4*(20*a^3*b^3*d^7 + 105*a^4*b^2*d^6*e + 126*a^5*b*d^5
*e^2 + 35*a^6*d^4*e^3)*x^4 + (5*a^4*b^2*d^7 + 14*a^5*b*d^6*e + 7*a^6*d^5*e^2)*x^3 + 1/2*(6*a^5*b*d^7 + 7*a^6*d
^6*e)*x^2
Sympy [B] (verification not implemented)
Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 132085 vs. \(2 (265) = 530\).
Time = 2.14 (sec) , antiderivative size = 132085, normalized size of antiderivative = 364.88
\[
\int (a+b x) (d+e x)^7 \left (a^2+2 a b x+b^2 x^2\right )^{5/2} \, dx=\text {Too large to display}
\]
[In]
integrate((b*x+a)*(e*x+d)**7*(b**2*x**2+2*a*b*x+a**2)**(5/2),x)
[Out]
Piecewise((sqrt(a**2 + 2*a*b*x + b**2*x**2)*(b**5*e**7*x**13/14 + x**12*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(1
3*b**2) + x**11*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) +
21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + x**10*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 +
7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*
b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b**2) + x**9*(35*a**
4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e*
*6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4 - 2
1*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*
b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13
*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b**2) + x**8*(21*a**5*b**
2*e**7 + 245*a**4*b**3*d*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4 - 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7
+ 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*
(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**
5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b**2) + 245*a*b**6*d**4*e**3 - 19*a*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e*
*6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7
*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**
2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*
b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b)
+ 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b**2) + x**7*(7*a**6*b*e**7 +
147*a**5*b**2*d*e**6 + 735*a**4*b**3*d**2*e**5 + 1225*a**3*b**4*d**3*e**4 + 735*a**2*b**5*d**4*e**3 - 9*a**2*(
35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**
6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e*
*4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) +
147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**
6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b**2) + 147*a*b**6*
d**5*e**2 - 17*a*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*a**4*b**3*d*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4
- 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) +
147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e*
*6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b**2) + 245*a*b**6*d**4*e**3 - 19*a*(35*a**4*b
**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6
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6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(1
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**4*b**3*d**2*e**5 + 1225*a**3*b**4*d**3*e**4 + 735*a**2*b**5*d**4*e**3 - 9*a**2*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3
*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e
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7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a*
*2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2
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+ 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b) + 7*b**7*d**6*e)/(8*b**2)
+ 7*a*b**6*d**7 - 13*a*(a**7*e**7 + 49*a**6*b*d*e**6 + 441*a**5*b**2*d**2*e**5 + 1225*a**4*b**3*d**3*e**4 + 12
25*a**3*b**4*d**4*e**3 + 441*a**2*b**5*d**5*e**2 - 8*a**2*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*a**4*b**3*d*e**6 + 735*a**3
*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4 - 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*
b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**
6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b**2)
+ 245*a*b**6*d**4*e**3 - 19*a*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(
281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5
)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/
14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(
71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d*
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35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**
6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e*
*4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) +
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7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a
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245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*
e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7
/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b
) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b**2) + 49*a*b**6*d**6*e - 15*a*(7*a**6*b*e**7 + 147*a**5*b**2*d*e**6 + 735*a**4*b**
3*d**2*e**5 + 1225*a**3*b**4*d**3*e**4 + 735*a**2*b**5*d**4*e**3 - 9*a**2*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d
*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14
+ 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*
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b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)
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25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b
**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b**2) + 49*a*b**6*d**6*e - 15*a*(7*a**6*b*e**7 + 147*a**5*b**2*d
*e**6 + 735*a**4*b**3*d**2*e**5 + 1225*a**3*b**4*d**3*e**4 + 735*a**2*b**5*d**4*e**3 - 9*a**2*(35*a**4*b**3*e*
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**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2
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a*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*a**4*b**3*d*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4 - 10*a**2*(35*
a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**
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**2*e**7 + 245*a**4*b**3*d*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4 - 10*a**2*(35*a**3*b**4*e*
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2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b
) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b**2) + 49*a*b**6*d**6*e - 1
5*a*(7*a**6*b*e**7 + 147*a**5*b**2*d*e**6 + 735*a**4*b**3*d**2*e**5 + 1225*a**3*b**4*d**3*e**4 + 735*a**2*b**5
*d**4*e**3 - 9*a**2*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b*
*5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2)
+ 245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7
*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e
**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(1
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7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*
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7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21
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+ 147*a**2*b**5*d**6*e - 7*a**2*(7*a**6*b*e**7 + 147*a**5*b**2*d*e**6 + 735*a**4*b**3*d**2*e**5 + 1225*a**3*b
**4*d**3*e**4 + 735*a**2*b**5*d**4*e**3 - 9*a**2*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**
2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) +
21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**
2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b*
*6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(
11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b**2) + 147*a*b**6*d**5*e**2 - 17*a*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*a**4*b**3*d*e**6 +
735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4 - 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a*
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11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*
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**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6
- 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 3
5*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b) + 7*b**7*d**6*e)/(8*b**2) + 7*a*b**6*d**7 - 13*a*(a**7*e**
7 + 49*a**6*b*d*e**6 + 441*a**5*b**2*d**2*e**5 + 1225*a**4*b**3*d**3*e**4 + 1225*a**3*b**4*d**4*e**3 + 441*a**
2*b**5*d**5*e**2 - 8*a**2*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*a**4*b**3*d*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*
d**3*e**4 - 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(1
3*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*
b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b**2) + 245*a*b**6*d**4*e**3 - 19*a*(
35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**
6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e*
*4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) +
147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**
6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e
**2)/(9*b**2) + 49*a*b**6*d**6*e - 15*a*(7*a**6*b*e**7 + 147*a**5*b**2*d*e**6 + 735*a**4*b**3*d**2*e**5 + 1225
*a**3*b**4*d**3*e**4 + 735*a**2*b**5*d**4*e**3 - 9*a**2*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b
**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(
13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 -
12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 +
49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*
e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b**2) + 147*a*b**6*d**5*e**2 - 17*a*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*a**4*b**3*d
*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4 - 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6
- 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 +
49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3
*e**4)/(11*b**2) + 245*a*b**6*d**4*e**3 - 19*a*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*
e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 2
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(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6
*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11
*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b) + 7*b**7*d**6*e)/(8*b) + b**7*d**7)/(7*b))/(6*b**2)
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3*b**4*d**6*e + 21*a**2*b**5*d**7 - 6*a**2*(a**7*e**7 + 49*a**6*b*d*e**6 + 441*a**5*b**2*d**2*e**5 + 1225*a**4
*b**3*d**3*e**4 + 1225*a**3*b**4*d**4*e**3 + 441*a**2*b**5*d**5*e**2 - 8*a**2*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*a**4*b*
*3*d*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4 - 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e
**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/
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/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b**2) + 49*a*b**6*d**6*e - 15*a*(7*a**6*b*e**7 + 1
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5*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6
*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**
4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 1
47*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6
)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b**2) + 147*a*b**6*d
**5*e**2 - 17*a*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*a**4*b**3*d*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4
- 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) +
147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**
6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b**2) + 245*a*b**6*d**4*e**3 - 19*a*(35*a**4*b*
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735*a**2*b**5*d**4*e**3 - 9*a**2*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2
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a*b**6*d**4*e**3 - 19*a*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**
2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b
**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*
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245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*
e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7
/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b
) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b) + 7*b**7*d**6*e)/(8*b) + b**7*d**7)/(7*b))/(6*b))/(5*b**2) - 7*a*(35*a**7*d**3*e*
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+ 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b)
+ 7*b**7*d**6*e)/(8*b**2) + 7*a*b**6*d**7 - 13*a*(a**7*e**7 + 49*a**6*b*d*e**6 + 441*a**5*b**2*d**2*e**5 + 12
25*a**4*b**3*d**3*e**4 + 1225*a**3*b**4*d**4*e**3 + 441*a**2*b**5*d**5*e**2 - 8*a**2*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*
a**4*b**3*d*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**3*e**4 - 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b
**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**
5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 3
5*b**7*d**3*e**4)/(11*b**2) + 245*a*b**6*d**4*e**3 - 19*a*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2
*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)
/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6
- 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14
+ 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**
3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2)/(9*b**2) + 49*a*b**6*d**6*e - 15*a*(7*a**6*b*e
**7 + 147*a**5*b**2*d*e**6 + 735*a**4*b**3*d**2*e**5 + 1225*a**3*b**4*d**3*e**4 + 735*a**2*b**5*d**4*e**3 - 9*
a**2*(35*a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49
*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d
**3*e**4 - 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b*
*2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7
*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b**2) + 147*a
*b**6*d**5*e**2 - 17*a*(21*a**5*b**2*e**7 + 245*a**4*b**3*d*e**6 + 735*a**3*b**4*d**2*e**5 + 735*a**2*b**5*d**
3*e**4 - 10*a**2*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b
**2) + 147*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**
7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b**2) + 245*a*b**6*d**4*e**3 - 19*a*(35*
a**4*b**3*e**7 + 245*a**3*b**4*d*e**6 + 441*a**2*b**5*d**2*e**5 - 11*a**2*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d
*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b**2) + 245*a*b**6*d**3*e**4
- 21*a*(35*a**3*b**4*e**7 + 147*a**2*b**5*d*e**6 - 12*a**2*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/(13*b**2) + 147
*a*b**6*d**2*e**5 - 23*a*(281*a**2*b**5*e**7/14 + 49*a*b**6*d*e**6 - 25*a*(71*a*b**6*e**7/14 + 7*b**7*d*e**6)/
(13*b) + 21*b**7*d**2*e**5)/(12*b) + 35*b**7*d**3*e**4)/(11*b) + 35*b**7*d**4*e**3)/(10*b) + 21*b**7*d**5*e**2
)/(9*b) + 7*b**7*d**6*e)/(8*b) + b**7*d**7)/(7*b))/(6*b))/(5*b))/(4*b))/(3*b))/(2*b))/b)*log(a/b + x)/sqrt(b**
2*(a/b + x)**2), Ne(b**2, 0)), (((a**2 + 2*a*b*x)**(7/2)*(-a**8*e**7 + 14*a**7*b*d*e**6 - 84*a**6*b**2*d**2*e*
*5 + 280*a**5*b**3*d**3*e**4 - 560*a**4*b**4*d**4*e**3 + 672*a**3*b**5*d**5*e**2 - 448*a**2*b**6*d**6*e + 128*
a*b**7*d**7)/(1792*b**7) + (a**2 + 2*a*b*x)**(9/2)*(3*a**7*e**7 - 35*a**6*b*d*e**6 + 168*a**5*b**2*d**2*e**5 -
420*a**4*b**3*d**3*e**4 + 560*a**3*b**4*d**4*e**3 - 336*a**2*b**5*d**5*e**2 + 64*b**7*d**7)/(1152*a*b**7) + (
a**2 + 2*a*b*x)**(11/2)*(-7*a**6*e**7 + 63*a**5*b*d*e**6 - 210*a**4*b**2*d**2*e**5 + 280*a**3*b**3*d**3*e**4 -
336*a*b**5*d**5*e**2 + 224*b**6*d**6*e)/(1408*a**2*b**7) + (a**2 + 2*a*b*x)**(13/2)*(7*a**5*e**7 - 35*a**4*b*
d*e**6 + 280*a**2*b**3*d**3*e**4 - 560*a*b**4*d**4*e**3 + 336*b**5*d**5*e**2)/(1664*a**3*b**7) + (a**2 + 2*a*b
*x)**(15/2)*(-35*a**3*d*e**6 + 210*a**2*b*d**2*e**5 - 420*a*b**2*d**3*e**4 + 280*b**3*d**4*e**3)/(1920*a**4*b*
*6) + (a**2 + 2*a*b*x)**(17/2)*(-7*a**3*e**7 + 63*a**2*b*d*e**6 - 168*a*b**2*d**2*e**5 + 140*b**3*d**3*e**4)/(
2176*a**5*b**7) + (a**2 + 2*a*b*x)**(19/2)*(7*a**2*e**7 - 35*a*b*d*e**6 + 42*b**2*d**2*e**5)/(2432*a**6*b**7)
+ (a**2 + 2*a*b*x)**(21/2)*(-3*a*e**7 + 7*b*d*e**6)/(2688*a**7*b**7) + e**7*(a**2 + 2*a*b*x)**(23/2)/(5888*a**
8*b**7))/(a*b), Ne(a*b, 0)), ((a*d**7*x + b*e**7*x**9/9 + x**8*(a*e**7 + 7*b*d*e**6)/8 + x**7*(7*a*d*e**6 + 21
*b*d**2*e**5)/7 + x**6*(21*a*d**2*e**5 + 35*b*d**3*e**4)/6 + x**5*(35*a*d**3*e**4 + 35*b*d**4*e**3)/5 + x**4*(
35*a*d**4*e**3 + 21*b*d**5*e**2)/4 + x**3*(21*a*d**5*e**2 + 7*b*d**6*e)/3 + x**2*(7*a*d**6*e + b*d**7)/2)*(a**
2)**(5/2), True))
Maxima [B] (verification not implemented)
Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 2153 vs. \(2 (271) = 542\).
Time = 0.21 (sec) , antiderivative size = 2153, normalized size of antiderivative = 5.95
\[
\int (a+b x) (d+e x)^7 \left (a^2+2 a b x+b^2 x^2\right )^{5/2} \, dx=\text {Too large to display}
\]
[In]
integrate((b*x+a)*(e*x+d)^7*(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2)^(5/2),x, algorithm="maxima")
[Out]
1/14*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*e^7*x^7/b - 3/26*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a*e^7*x^6/b^2 + 11/78*(b
^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^2*e^7*x^5/b^3 - 133/858*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^3*e^7*x^4/b^4 + 139/
858*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^4*e^7*x^3/b^5 + 1/6*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a*d^7*x + 1/6*(b^2*x
^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^8*e^7*x/b^7 - 425/2574*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^5*e^7*x^2/b^6 + 1/6*(b^2*
x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^2*d^7/b + 1/6*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^9*e^7/b^8 + 214/1287*(b^2*x^2 + 2
*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^6*e^7*x/b^7 - 1501/9009*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^7*e^7/b^8 + 1/13*(7*b*d*e^6 +
a*e^7)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*x^6/b^2 - 19/156*(7*b*d*e^6 + a*e^7)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a*
x^5/b^3 + 7/12*(3*b*d^2*e^5 + a*d*e^6)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*x^5/b^2 + 251/1716*(7*b*d*e^6 + a*e^7)*
(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^2*x^4/b^4 - 119/132*(3*b*d^2*e^5 + a*d*e^6)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*
a*x^4/b^3 + 7/11*(5*b*d^3*e^4 + 3*a*d^2*e^5)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*x^4/b^2 - 68/429*(7*b*d*e^6 + a*e
^7)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^3*x^3/b^5 + 35/33*(3*b*d^2*e^5 + a*d*e^6)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2
)*a^2*x^3/b^4 - 21/22*(5*b*d^3*e^4 + 3*a*d^2*e^5)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a*x^3/b^3 + 7/2*(b*d^4*e^3 +
a*d^3*e^4)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*x^3/b^2 - 1/6*(7*b*d*e^6 + a*e^7)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*
a^7*x/b^7 + 7/6*(3*b*d^2*e^5 + a*d*e^6)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^6*x/b^6 - 7/6*(5*b*d^3*e^4 + 3*a*d^2
*e^5)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^5*x/b^5 + 35/6*(b*d^4*e^3 + a*d^3*e^4)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)
*a^4*x/b^4 - 7/6*(3*b*d^5*e^2 + 5*a*d^4*e^3)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^3*x/b^3 + 7/6*(b*d^6*e + 3*a*d^
5*e^2)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^2*x/b^2 - 1/6*(b*d^7 + 7*a*d^6*e)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a*x
/b + 211/1287*(7*b*d*e^6 + a*e^7)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^4*x^2/b^6 - 112/99*(3*b*d^2*e^5 + a*d*e^6)
*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^3*x^2/b^5 + 217/198*(5*b*d^3*e^4 + 3*a*d^2*e^5)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(
7/2)*a^2*x^2/b^4 - 91/18*(b*d^4*e^3 + a*d^3*e^4)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a*x^2/b^3 + 7/9*(3*b*d^5*e^2
+ 5*a*d^4*e^3)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*x^2/b^2 - 1/6*(7*b*d*e^6 + a*e^7)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/
2)*a^8/b^8 + 7/6*(3*b*d^2*e^5 + a*d*e^6)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^7/b^7 - 7/6*(5*b*d^3*e^4 + 3*a*d^2*
e^5)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^6/b^6 + 35/6*(b*d^4*e^3 + a*d^3*e^4)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^
5/b^5 - 7/6*(3*b*d^5*e^2 + 5*a*d^4*e^3)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^4/b^4 + 7/6*(b*d^6*e + 3*a*d^5*e^2)*
(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^3/b^3 - 1/6*(b*d^7 + 7*a*d^6*e)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(5/2)*a^2/b^2 - 17
09/10296*(7*b*d*e^6 + a*e^7)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^5*x/b^7 + 917/792*(3*b*d^2*e^5 + a*d*e^6)*(b^2*
x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^4*x/b^6 - 455/396*(5*b*d^3*e^4 + 3*a*d^2*e^5)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^3
*x/b^5 + 203/36*(b*d^4*e^3 + a*d^3*e^4)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^2*x/b^4 - 77/72*(3*b*d^5*e^2 + 5*a*d
^4*e^3)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a*x/b^3 + 7/8*(b*d^6*e + 3*a*d^5*e^2)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*
x/b^2 + 1715/10296*(7*b*d*e^6 + a*e^7)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^6/b^8 - 923/792*(3*b*d^2*e^5 + a*d*e^
6)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^5/b^7 + 461/396*(5*b*d^3*e^4 + 3*a*d^2*e^5)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/
2)*a^4/b^6 - 209/36*(b*d^4*e^3 + a*d^3*e^4)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^3/b^5 + 83/72*(3*b*d^5*e^2 + 5*a
*d^4*e^3)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)*a^2/b^4 - 9/8*(b*d^6*e + 3*a*d^5*e^2)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2
)*a/b^3 + 1/7*(b*d^7 + 7*a*d^6*e)*(b^2*x^2 + 2*a*b*x + a^2)^(7/2)/b^2
Giac [B] (verification not implemented)
Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1243 vs. \(2 (271) = 542\).
Time = 0.29 (sec) , antiderivative size = 1243, normalized size of antiderivative = 3.43
\[
\int (a+b x) (d+e x)^7 \left (a^2+2 a b x+b^2 x^2\right )^{5/2} \, dx=\text {Too large to display}
\]
[In]
integrate((b*x+a)*(e*x+d)^7*(b^2*x^2+2*a*b*x+a^2)^(5/2),x, algorithm="giac")
[Out]
1/14*b^6*e^7*x^14*sgn(b*x + a) + 7/13*b^6*d*e^6*x^13*sgn(b*x + a) + 6/13*a*b^5*e^7*x^13*sgn(b*x + a) + 7/4*b^6
*d^2*e^5*x^12*sgn(b*x + a) + 7/2*a*b^5*d*e^6*x^12*sgn(b*x + a) + 5/4*a^2*b^4*e^7*x^12*sgn(b*x + a) + 35/11*b^6
*d^3*e^4*x^11*sgn(b*x + a) + 126/11*a*b^5*d^2*e^5*x^11*sgn(b*x + a) + 105/11*a^2*b^4*d*e^6*x^11*sgn(b*x + a) +
20/11*a^3*b^3*e^7*x^11*sgn(b*x + a) + 7/2*b^6*d^4*e^3*x^10*sgn(b*x + a) + 21*a*b^5*d^3*e^4*x^10*sgn(b*x + a)
+ 63/2*a^2*b^4*d^2*e^5*x^10*sgn(b*x + a) + 14*a^3*b^3*d*e^6*x^10*sgn(b*x + a) + 3/2*a^4*b^2*e^7*x^10*sgn(b*x +
a) + 7/3*b^6*d^5*e^2*x^9*sgn(b*x + a) + 70/3*a*b^5*d^4*e^3*x^9*sgn(b*x + a) + 175/3*a^2*b^4*d^3*e^4*x^9*sgn(b
*x + a) + 140/3*a^3*b^3*d^2*e^5*x^9*sgn(b*x + a) + 35/3*a^4*b^2*d*e^6*x^9*sgn(b*x + a) + 2/3*a^5*b*e^7*x^9*sgn
(b*x + a) + 7/8*b^6*d^6*e*x^8*sgn(b*x + a) + 63/4*a*b^5*d^5*e^2*x^8*sgn(b*x + a) + 525/8*a^2*b^4*d^4*e^3*x^8*s
gn(b*x + a) + 175/2*a^3*b^3*d^3*e^4*x^8*sgn(b*x + a) + 315/8*a^4*b^2*d^2*e^5*x^8*sgn(b*x + a) + 21/4*a^5*b*d*e
^6*x^8*sgn(b*x + a) + 1/8*a^6*e^7*x^8*sgn(b*x + a) + 1/7*b^6*d^7*x^7*sgn(b*x + a) + 6*a*b^5*d^6*e*x^7*sgn(b*x
+ a) + 45*a^2*b^4*d^5*e^2*x^7*sgn(b*x + a) + 100*a^3*b^3*d^4*e^3*x^7*sgn(b*x + a) + 75*a^4*b^2*d^3*e^4*x^7*sgn
(b*x + a) + 18*a^5*b*d^2*e^5*x^7*sgn(b*x + a) + a^6*d*e^6*x^7*sgn(b*x + a) + a*b^5*d^7*x^6*sgn(b*x + a) + 35/2
*a^2*b^4*d^6*e*x^6*sgn(b*x + a) + 70*a^3*b^3*d^5*e^2*x^6*sgn(b*x + a) + 175/2*a^4*b^2*d^4*e^3*x^6*sgn(b*x + a)
+ 35*a^5*b*d^3*e^4*x^6*sgn(b*x + a) + 7/2*a^6*d^2*e^5*x^6*sgn(b*x + a) + 3*a^2*b^4*d^7*x^5*sgn(b*x + a) + 28*
a^3*b^3*d^6*e*x^5*sgn(b*x + a) + 63*a^4*b^2*d^5*e^2*x^5*sgn(b*x + a) + 42*a^5*b*d^4*e^3*x^5*sgn(b*x + a) + 7*a
^6*d^3*e^4*x^5*sgn(b*x + a) + 5*a^3*b^3*d^7*x^4*sgn(b*x + a) + 105/4*a^4*b^2*d^6*e*x^4*sgn(b*x + a) + 63/2*a^5
*b*d^5*e^2*x^4*sgn(b*x + a) + 35/4*a^6*d^4*e^3*x^4*sgn(b*x + a) + 5*a^4*b^2*d^7*x^3*sgn(b*x + a) + 14*a^5*b*d^
6*e*x^3*sgn(b*x + a) + 7*a^6*d^5*e^2*x^3*sgn(b*x + a) + 3*a^5*b*d^7*x^2*sgn(b*x + a) + 7/2*a^6*d^6*e*x^2*sgn(b
*x + a) + a^6*d^7*x*sgn(b*x + a) + 1/24024*(3432*a^7*b^7*d^7 - 3003*a^8*b^6*d^6*e + 2002*a^9*b^5*d^5*e^2 - 100
1*a^10*b^4*d^4*e^3 + 364*a^11*b^3*d^3*e^4 - 91*a^12*b^2*d^2*e^5 + 14*a^13*b*d*e^6 - a^14*e^7)*sgn(b*x + a)/b^8
Mupad [F(-1)]
Timed out. \[
\int (a+b x) (d+e x)^7 \left (a^2+2 a b x+b^2 x^2\right )^{5/2} \, dx=\int \left (a+b\,x\right )\,{\left (d+e\,x\right )}^7\,{\left (a^2+2\,a\,b\,x+b^2\,x^2\right )}^{5/2} \,d x
\]
[In]
int((a + b*x)*(d + e*x)^7*(a^2 + b^2*x^2 + 2*a*b*x)^(5/2),x)
[Out]
int((a + b*x)*(d + e*x)^7*(a^2 + b^2*x^2 + 2*a*b*x)^(5/2), x)